设在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片,标号分别记为x,y,设随机变量ξ=|x-2|+|y-x|.
(1)写出x,y的可能取值,并求随机变量ξ的最大值;
(2)求事件“ξ取得最大值”的概率;
(3)求ξ的分布列和数学期望与方差.
解题思路:(1)x,y的可能取值都为1,2,3.由此能示出随机变量ξ的最大值.
(2)有放回地先后抽得两张卡片的所有情况的种数n=3×3=9,由此能求出事件“ξ取得最大值”的概率.(3)ξ的所有取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和数学期望与方差.
(1)x,y的可能取值都为1,2,3.
|x-2|≤1,|y-x|≤2,∴ξ≤3,
∴当x=1,y=3或x=3,y=1时,ξ取最大值3.…(3分)
(2)有放回地先后抽得两张卡片的所有情况的种数n=3×3=9,
∴P(ξ=3)=[2/9].…(4分)
(3)ξ的所有取值为0,1,2,3,
当ξ=0时,只有x=2,y=2这1种情况,∴P(ξ=0)=[1/9].
当ξ=1时,只有x=1,y=1,或x=2,y=1,或x=2,y=3,或x=3,y=3,
共4种情况,
∴P(ξ=1)=[4/9];
当ξ=2时,只有x=1,y=2,或x=3,y=2这2种情况,
∴P(ξ=2)=[2/9].
当ξ=3时,P(ξ=3)=[2/9],…(7分)
∴随机变量ξ的分布列为:
ξ0123
P[1/9][2/9][4/9][2/9]∴数学期望Eξ=0×
1
9+1×
2
9+2×
4
9+3×
2
9=[14/9],
方差Dξ=[1/9(0−
14
9)2+
2
9(1−
14
9)2+
4
9(2−
14
9)2+
2
9(2−
14
9)2=
8
9].…(9分)
点评:
本题考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.
考点点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的求法,是中档题,在历年高考中都是必考题型.
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