用二项式定理证明：（1）2n+2•3n+5n-4（n∈N*）能被25整除；（2）（[2/3]）n-1＜[2/n+1]（n

用二项式定理证明：

（1）2n+2•3n+5n-4（n∈N*）能被25整除；

（2）（[2/3]）n-1＜[2/n+1]（n∈N*，且n≥3）．

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解题思路：（1）根据2n+2•3n+5n-4=4×（1+5）n+5n-4，再用二项式定理展开化简可得它能被25整除．

（2）把

(

3

2

)

n−1

=

(1+

1

2

)

n−1

按照二项式定理展开可得它大于 [n+1/2]，从而证得（[2/3]）n-1＜[2/n+1]．

（1）2n+2•3n+5n-4=4×6n+5n-4=4×（1+5）n+5n-4

=4×[1+

C1n×5+

C2n×52+…+

C5n×5n]+5n-4=25n+

C2n×52+…+

C5n×5n]，显然能被25整除．

（2）∵(

3

2)n−1=(1+

1

2)n−1=1+（n-1）×[1/2]+

C2n−1×(

1

2)2+…+(

1

2)n−1＞1+（n-1）×[1/2]=[n+1/2]，

∴（[2/3]）n-1＜[2/n+1]（n∈N*，且n≥3）．

点评：

本题考点： 二项式系数的性质．

考点点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，用放缩法证明不等式，属于基础题．

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