三角形ABC的三条中线的平方和是多少?已知AB=c,AC=b,BC=a
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△ABC,A、B、C三个角对应边长分别为a、b、c,过 BC 中点 D 连接中线 AD,标 AD 长度为 p

注意∠ADB + ∠ADC = 180度

应用余弦定理

cos(∠ADB) = (p^2 + a^2/4 - c^2)/(p*a) .(1)

cos(∠ADC) = (p^2 + a^2/4 - b^2)/(p*a) .(2)

(1) + (2)

2p^2 + (a^2)/2 - (b^2 + c^2) = 0

2p^2 = (b^2 + c^2) - (a^2)/2

显然,三条边同样操作得到：

三条中线平方之和等于三边平方和的四分之三倍.

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