（Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m=0，直线AB的方程为：
x=1，从而点A的坐标为（1，
3
2 ）或（1，-
3
2 ）．
因为点A在抛物线上．
所以
9
4 =2p ，即 p=
9
8 ．
此时C 2的焦点坐标为（
9
16 ，0），该焦点不在直线AB上．
（II）解法一：假设存在m、p的值使C 2的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB
的斜率存在，故可设直线AB的方程为y=k（x-1）．
由
y=k(x-1)
x 2
4 +
y 2
3 =1 消去y得（3+4k 2）x 2-8k 4x+4k 2-12=0①
设A、B的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），
则x 1，x 2是方程①的两根，x 1+x 2=
8 k 4
3+4 k 2 ．
由
(y-m ) 2 =2px
y=k(x-1)
消去y得（kx-k-m） 2=2px．②
因为C 2的焦点 F′(
p
2 ，m) 在直线y=k（x-1）上，
所以 m=k(
p
2 -1) ，即 m+k=
kp
2 ．代入②有 (kx-
kp
2 ) 2 =2px ．
即 k 2 x 2 -p( k 2 +2)x+
k 2 p 2
4 =0 ．=3 ③
由于x 1，x 2也是方程=3 ③的两根，
所以x 1+x 2=
p( k 2 +2)
k 2 ．
从而
8 k 4
3+4 k 2 =
p( k 2 +2)
k 2 ．
解得 p=
8 k 4
(4 k 2 +3)( k 2 +2) =4 ④
又AB过C 1…C 2的焦点，
所以 |AB|=( x 1 +
p
2 )+( x 2 +
p
2 )= x 1 + x 2 +p=(2-
1
2 x 1 )+(2-
1
2 x 2 ) ，
则 p=4-
3
2 ( x 1 + x 2 )=4-
12 k 2
4 k 2 +3 =
4 k 2 +12
4 k 2 +3 ．=5 ⑤
由=4 ④、=5 ⑤式得
8 k 4
(4k 2 +3)( k 2 +2) =
4 k 2 +12
4 k 2 +3 ，即k 4-5k 2-6=0．
解得k 2=6．于是 k=±
6 ，p=
4
3 ．
因为C 2的焦点 F′(
2
3 ，m) 在直线 y=±
6 (x-1) 上，
所以 m=±
6 (
2
3 -1) ．
∴ m=
6
3 或 m=-
6
3 ．
由上知，满足条件的m、p存在，且 m=
6
3 或 m=-
6
3 ， p=
4
3 ．
解法二：设A、B的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2y 2）．
因为AB既过C 1的右焦点F（1，0），又过C 2的焦点 F′(
p
2 ，m) ，
所以 |AB|=( x 1 +
p
2 )+( x 2 +
p
2 )= x 1 + x 2 +p=(2-
1
2 x 1 )+(2-
1
2 x 2 ) ．
即 x 1 + x 2 =
2
3 (4-p) ． ①
由（Ⅰ）知x 1≠x 2，p≠2，于是直线AB的斜率 k=
y 2 - y 1
x 2 - x 1 =
m-0
p
2 -1 =
2m
p-2 ，②
且直线AB的方程是 y=
2m
p-2 (x-1) ，
所以 y 1 + y 2 =
2m
p-2 ( x 1 + x 2 -2)=
4m(1-p)
3(p-2) ．③
又因为
3
x 21 +4
y 21 =12
3
x 22 +4
y 22 =12 ，
所以 3( x 1 + x 2 )+4( y 1 + y 2 )•
y 2 - y 1
x 2 - x 1 =0 ．④
将①、②、③代入④得 m 2 =
3(p-4) (p-2) 2
16(1-p) ．=5 ⑤
因为
( y 1 -m ) 2 =2p x 1
( y 2 -m ) 2 =2p x 2 ，
所以 y 1 + y 2 -2m=2p
x 2 - x 1
y 2 - y 1 ．=6 ⑥
将②、③代入=6 ⑥得 m 2 =
3p (p-2) 2
16-10p ．=7 ⑦
由=5 ⑤、=7 ⑦得
3(p-4) (p-2) 2
16(1-p) =
3p (p-2) 2
16-10p ．
即3p 2+20p-32=0
解得 p=
4
3 或p=-8(舍去) ．
将 p=
4
3 代入=5 ⑤得 m 2 =
2
3 ，
∴ m=
6
3 或 m=-
6
3 ．
由上知，满足条件的m、p存在，
且 m=
6
3 或 m=-
6
3 ， p=
4
3
1年前
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