解题思路：作辅助线构造两对相似三角形，借助等边三角形的性质分别求出[1/CE、
1
BF]关于边长m的代数式，问题即可解决．
过点D分别作DP∥AB，DQ∥AC，交BC于点P、Q；
∵点M、N分别为AB、AC边的中点，
∴MN∥BC，MN=[1/2BC；
∴四边形DMBP、四边形DNCQ分别是平行四边形，
∴BP=DM，CQ=DN，
∴BP+CQ=MN=
1
2BC，PQ=BC-
1
2BC=
1
2BC（设为m）
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°；
而∠DPQ=∠ABC=60°，∠DQP=∠ACB=60°，
∴△DPQ是等边三角形，DP=DQ=PQ=
1
2m；
∵DQ∥AC，
∴
DQ
CE＝
BQ
BC]，[1/CE＝
BQ
DQ•BC＝
2BQ
m2]；
同理可证：[1/BF＝
2CP
m2]；
∴[1/CE+
1
BF＝
2(BQ+CP)
m2]，
而BQ+CP=（BQ+CQ）+PQ=m+[1/2m=
3
2m，
∴
1
CE+
1
BF＝
3
m]；
又∵[1/CE+
1
BF＝
1
a]，
∴[3/m＝
1
a]，m=3a；
即△ABC的边长为3a．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
考点点评： 该题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形；对综合运用能力提出了较高的要求．
1年前
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