解题思路：①求函数的导数，利用导数与函数单调性之间的关系确定函数f（x）的单调性；
②利用导数和函数最值之间的关系求函数f（x）的最大值；
③根据条件求出数列的通项公式，然后求Sn，利用放缩法证明不等式即可．
①∵f（x）=（1+ax）ln（1+x）-x，
∴f′（x）=aln（1+x）+
1+ax
1+x]-1=aln（1+x）+
(a−1)x
1+x，
令g（x）=aln（1+x）+
(a−1)x
1+x，
则g′（x）=[a/1+x]+
(a−1)(1+x)−(a−1)x
(1+x)2=[ax+2a−1
(1+x)2，
∵a≥
1/2]，
∴当x∈[0，+∞）时，g′（x）≥0，
∴函数g（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴g（x）≥g（0）=0，即f′（x）≥0，
∴函数f（x）在[0，+∞）上为增函数；
②当a=0时，f（x）=ln（1+x）-x，
f′（x）=[1/1+x]-1=[−x/1+x]，
在x∈[0，+∞）时f′（x）≤0，
∴函数f（x）在[0，+∞）上为减函数，
∴f（x）max=f（0）=ln1=0；
③由题意可得a1+2a2+3a3+…+nan=f（n）+n=（1+an）ln（1+n），
故当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=（1+an-a）lnn，
两式相减可得nan=ln（1+n）-lnn，
故an＝
1
n[ln(1+n)−lnn]＝
1
nln(1+
1
n)．
由①知，当a=1时，f（x）=（1+x）ln（1+x）-x在[0，+∞）上单调递增，
∴x＞0时，f（x）＞f（0），
故（1++x）ln（1+x）＞x，∴ln（1+x）＞[x/1+x]．
由②知a=0时，f（x）max=f（0）=0，
∴x＞0时，f（x）＜0，即ln（1+x）＜x，
∴[x/1+x＜ln(1+x)＜x，x＞0．
令x=
1
n]，得[1/n+1＜ln(1+
1
n)＜
1
n]，
∴[1
n(n+1)＜an＜
1
n2，
∴Sn＞
1/1×2+
1
2×3+…+
1
n(n+1)＝1−
1
n≥1−
1
1+1＝
1
2]．
又an
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；数列的求和；数列与不等式的综合．
考点点评： 本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，以及利用放缩法证明不等式，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．
