设直角三角形ABC的两直角边长为a,b,斜边长为c,试求满足a的立方+b的立方≥λabc中的最大λ值
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设a=csinθ
b=ccosθ θ∈（0,π/2)
原不等式即化为：c^3sinθ^3+c^3cosθ^3>=λcsinθccosθc
即sinθ^3+cosθ^3>=λsinθcosθ
即（sinθ+cosθ）*(1-sinθcosθ）>=λsinθcosθ
易得sinθ+cosθ>0
令sinθcosθ=t
则2t=sin2θ∈（0,1]
即t∈（0,1/2]
sinθ+cosθ=√（sinθ^2+cosθ^2+2t)=√（1+2t）
不等式即划为：√（1+2t）*（1-t）>=λt 其中t∈（0,1/2]
（我除了求导外想不到其它的方法了.）
同时平方：（1+2t）*（1-t）*（1-t）>=λ^2t^2
即2t^3-(3+λ^2)*t^2+1>=0
令f（t）=2t^3-(3+λ^2)*t^2+1
则 f‘（t）=6t^2-(3+λ^2)*2t
当f‘（t）=0时 t1=0 t2=（3+λ^2）/3>1/2
由于t∈（0,1/2],此时f’（t）恒小于0 即函数在此区间呈单调减
故应满足：f（1/2)>=0
此时：2（1/2)^3-(3+λ^2)*（1/2)^2+1>=0
解得λ^2
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