将一个边长为A的正方形硬纸板减去四角,使它成为正八边形,正八边形的面积为多少?
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将一个边长为a的正方形硬纸板减去四角,使它成为正八边形,正八边形的面积为多少?

要使正方形硬纸板成为正八边形,需剪去四角,剪去的四角都是等腰直角三角形,其斜边应与正方形剪后剩下的边的长度相等,设原正方形的边长为a,剪下的等腰三角形的直角边为b,即有:a-2b=√2b,即:b=a/(2+√2)

原来的正方形的面积为:S1=a^2

剪去的每个小三角形的面积为：S0=1/2*b^2=1/2*[a/(2+√2)]^2=a^2/(12+8√2)

所以,正八边形的面积为:

S=S1-4*S0=a^2-4*a^2/(12+8√2)=(2-2√2)a^2

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