已知函数f(x)=x-ax2-lnx(a>0).
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为-2,求a的值以及切线方程;
(2)若f(x)是单调函数,求a的取值范围.
解题思路:(1)先求函数f(x)的导数,再根据导数的几何意义列式求出a值,最后再根据直线的方程写出切线的方程即可.
(2)对函数求导,要讨论函数的单调性,只要讨论a的范围再判断f′(x)的符号即得.
(1)f′(x)=1-2ax-[1/x].…(2分)
由题设,f′(1)=-2a=-2,a=1,
此时f(1)=0,切线方程为y=-2(x-1),即2x+y-2=0.…(5分)
(2)f′(x)=-
2ax2−x+1
x,
令△=1-8a.
当a≥[1/8]时,△≤0,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)单调递减.…(10分)
当0<a<[1/8]时,△>0,方程2ax2-x+1=0有两个不相等的正根x1,x2,
不妨设x1<x2,
则当x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,f′(x)<0,当x∈(x1,x2)时,f′(x)>0,
这时f(x)不是单调函数.
综上,a的取值范围是[[1/8],+∞).…(12分)
点评:
本题考点: 函数的单调性与导数的关系;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 本题主要考查了利用函数的导数判断函数的单调性,导数的几何意义在切线的求解中的应用,属于中档试题
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