解题思路：（1）求∠BIC的度数，在△BCI，只要求出∠CBI+∠BCI的度数；角平分线的定义得，∠CBI=[1/2]∠ABC，∠BCI=[1/2]∠ACB；由三角形内角和定理，∠BAC=40°，∠ACB=75°得∠ABC的度数；
（2）三角形内角和定理求得∠BDC=180°-（∠CBD+∠BCD）；由角平分线性质，∠CBD=[1/2]∠MBC，∠BCD=[1/2]∠NCB，∴∠CBD+∠BCD=[1/2]（∠MBC+∠NCB）；利用三角形外角性质得，∠MBC=∠A+∠ACB，∠NCB=∠A+∠ABC，从而得出∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A；
（3）点E是内角∠ABC、外角∠ACG的平分线交点得∴∠CBE与其它角的关系，∠ECG是△BCE的外角得知，∠ECG=∠CBE+∠BEC，∴[1/2]∠BAC+[1/2]∠ABC=[1/2]∠ABC+∠BEC，从而得∠BAC=2∠BEC．
（1）在△ABC中，
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，∠BAC=40°，∠ACB=75°，
∴∠ABC=180°-40°-75°=65°．
∵BI是∠ABC的平分线，
∴∠CBI=[1/2]∠ABC=[1/2]×65°=32.5°．
∵CI是∠ABC的平分线，
∴∠BCI=[1/2]∠ACB=[1/2]×75°=37.5°．
在△BCI
∠CBI+∠BCI+∠BIC=180°，
∴∠BIC=180°-32.5°-37.5°=110°．
（2）∵∠MBC是△ABC的外角，
∴∠MBC=∠A+∠ACB．
∵∠NCB是△ABC的外角，
∴∠NCB=∠A+∠ABC．
∴∠MBC+∠NCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A=180°+40°=220°．
∵BD是∠MBC的平分线，
∴∠CBD=[1/2]∠MBC．
∵CD是∠NCB的平分线，
∴∠BCD=[1/2]∠NCB．
∴∠CBD+∠BCD=[1/2]（∠MBC+∠NCB）=[1/2]×220°=110°．
在△BCD中
∠BDC+∠CBD+∠BCD=180°，
∴∠BDC=180°-110°=70°．
（3）∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠CBE=[1/2]∠ABC．
∵∠ACG是△ABC的外角，
∴∠ACG=∠BAC+∠ABC．
∵CE是∠ACG的平分线，
∴∠ECG=[1/2]（∠BAC+∠ABC）=[1/2]∠BAC+[1/2]∠ABC．
∵∠ECG是△BCE的外角，
∴∠ECG=∠CBE+∠BEC．
∴[1/2]∠BAC+[1/2]∠ABC=[1/2]∠ABC+∠BEC．
∴∠BAC=2∠BEC．
点评：
本题考点： 三角形的外角性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．
考点点评： 考查三角形内角和定理，角平分线的定义，外角性质．
