求证：函数f(x)=（1+x）/ 根号下x 在（1,正无穷）上是增函数
2个回答
设X1>X2,且X1>1,X2>1,
则：F(X1)＝（1+X1）/根号下X1,F(X2)＝（1+X2）/根号下X2
那么：F(X1)-F(X2)＝（1+X1）/根号下X1－（1+X2）/根号下X2
＝（1+X1）根号下X2－（1+X2）根号下X1/根号下X1X2
而：(1+X1）根号下X2－（1+X2）根号下X1＝X2（1+X1）的平方－X1（1+X2）
的平方/（1+X1）根号下X2+（1+X2）根号下X1
X2（1+X1）的平方－X1（1+X2）的平方＝X2（1+2X1+X1的平方）—X1（1+2X2+X2的天方）＝X2+2X1X2+X2×X1的天方－X1－2X1X2－X1×X2的天方＝（X1－X2）（X1X2－1）
因为：X1>X2,所以（X1－X2）>0；X1>1,X2>1,所以（X1X2－1）>0,
即：（X1－X2）（X1X2－1）>0,X2（1+X1）的平方－X1（1+X2）的平方>0,
因为：X1>1,X2>1,则：（1+X1）根号下X2+（1+X2）根号下X1>0
所以：(1+X1）根号下X2－（1+X2）根号下X1>0
因为：X1>1,X2>1,则：根号下X1X2>0
所以:（1+X1）根号下X2－（1+X2）根号下X1/根号下X1X2>0,
也就是：（1+X1）/根号下X1－（1+X2）/根号下X2>0,
即:F(X1)-F(X2)>0
所以:函数f(x)=（1+x）/ 根号下x 在（1,正无穷）上是增函数.
相关问题
