设R(AB)=r,则线性方程组ABX=0的基础解系中含有s-r个解向量,又线性方程组ABX=0与BX=0同解,所以线性方程组BX=0的基础解系中也含有s-r个解向量,所以R(B)=s-(s-r)=r
即R(AB)=R(B)
反之,若R(AB)=R(B),则线性方程组ABX=0与BX=0的基础解系中所含解向量的个数相同.又显然BX=0的所有解都是ABX=0的解,所以BX=0的一个基础解系也是ABX=0的基础解系.故线性方程组ABX=0与BX=0同解.
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