已知函数f(x)=(12x-1+12)sinx (-π2＜x＜π2且x≠0)

已知函数

f(x)=(

1

2

x

-1

+

1

2

)sinx(-

π

2

＜x＜

π

2

且x≠0)

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）求证f（x）＞0．

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3个回答

解题思路：（1）根据函数的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=f（x），可得函数为偶函数．

（2）当0＜x＜[π/2]时，由函数的解析式求得f（x）＞0，当

-

π

2

＜x＜0

时，由f（x）为偶函数，利用偶函数的性质可得f（x）＞0，从而证得结论．

（1）∵f(-x)=(

1

2-x-1+

1

2)sin(-x)=-(

1

1

2x-1+

1

2)sinx

=-(

2x

1-2x+

1

2)sinx=(

2x

2x-1-

1

2)sinx=[(1+

1

2x-1)-

1

2]sinx=(

1

2x-1+

1

2)sinx=f(x)，

∴f（x）是偶函数．

（2）当0＜x＜

π

2时，2x＞1，2x-1＞0，又sinx＞0，∴f(x)＞0．

当-

π

2＜x＜0时，

∵f（x）为偶函数，由上式知f（x）＞0，故f（x）＞0成立．

综上可得，f（x）＞0．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，函数的奇偶性的应用，属于中档题．

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