九年级数学题一道正方形ABCD中,P 为AB上一点,连接PC,E为PC上一点,且DE=DC,过点E作EF⊥PC交AC于F
2个回答
时间紧,没画图,自己画一下吧,很简单
已证BP=FD,而PB=FD
所以F为AD中点
连接FB
因为AF=BP,AB=BC,角A=角B
三角形ABF 全等 三角形BPC
角BPC=角AFB,角AFB+角ABF=90度
所以 角BPC+角ABF=90度 ,所以BF⊥BC
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直（即过F点垂直于BC）
所以点E在BF上
设AB=2x,BP=AF=x,则BF=CP=√5x
再根据 三角形AFB 与三角形EPB 相似
AF：PE=AB：BE=BF：BP=√5：1
解得 PE=(√5/5)x,BE=(2√5/5)x
所以EF=BF-BE=（3√5/5)x
再做EG⊥AB,交AB于G
根据 三角形ABF 与三角形GBE相似
AF：GE=AB:GB=BF：BE=5/2
解得 EG=(2/5)x,BG=（4/5)x
所以AG=AB-BG=(6/5)x
根据勾股定理 AE=√(AG^2+EG^2)=(2√10/5)x
PE+EF=(4/√5)x,√2AE=√2*(2√10/5)x=(4√5/5)x
所以√2AE=PE+EF
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