如图1，在Rt△A′OB′中，∠B′A′0=90°，A′，B′两点的坐标分别为（2，-1）和（0，-5），将A′0B′绕

如图1，在Rt△A′OB′中，∠B′A′0=90°，A′，B′两点的坐标分别为（2，-1）和（0，-5），将A′0B′绕点O逆时针方向旋转90°，使OB’落在x轴正半轴上，得△AOB，点A′的对应点是A，点B’的对应点是B．

（1）写出A，B两点的坐标，并求直线AB的解析式；

（2）如图2，将△A0B沿垂直于x轴的线段CD折叠，（点C在x轴上，且不与点B重合，点D在线段AB上），使点B落在x轴上，对应点为点E，设点C的坐标为（x，0）．

①当x为何值时，线段DE平分△AOB的面积；

②是否存在这样的点使得△AED为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

③设△CDE与△AOB重叠部分的面积为S，直接写出S与点C的横坐标x之间的函

数关系式（包括自变量x的取值范围）．

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解题思路：（1）根据旋转的性质可知：A′的横坐标实际是A点的纵坐标，A′的纵坐标的绝对值实际是A点横坐标，由此可得出A点的坐标，同理可求出B点的坐标．已知了A、B的坐标，可用待定系数法求出直线AB的解析式．

（2）①当E点与O重合时，不难得出△EDB的面积＞[1/2]△AOB的面积，因此当线段DE平分△AOB的面积时，E在O点右侧．可用x表示出BC，CD的值，进而可得求出△BDE的面积，然后根据其面积为△AOB面积的一半可得出一个关于x的方程，据此可求出x的值．

②本题要分情况进行讨论：

一：当∠ADE=90°时，∠EDB=90°，显然不成立；

二：当∠EAD=90°时，E，O重合，那么BE=BO，据此可求出x的值；

三：当∠AED=90°时，可过A作x轴的垂线，通过构建相似三角形来求出x的值．

③本题要分情况进行讨论：

一：当[5/2]≤x＜5时，E在△AOB内，重合部分的面积就是△CDE的面积；

二：2≤x＜[5/2]时，E在△AOB外部，重合部分是个不规则的四边形，设DE与OA交于P，那么重合部分的面积可用△CDE的面积减去△EOP的面积来求得．

综上所述，即可求出不同x的取值范围内S，x的函数关系式．

（1）A（1，2），B（5，0），

设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：

k+b＝2

5k+b＝0，

解得：

k＝−

1

2

b＝

5

2，

∴直线AB的解析式为y=-[1/2]x+[5/2]．

（2）①当x=[5/2]时，CD=y=[5−x/2]=[5/4]，S△DEB=[1/2]×5×[5/4]=[25/8]＞3，

∴点E在O的右边．

由题意，得：S△DEB=[1/2]×2（5-x）×[5−x/2]=[5/2]，x=5+

5（舍去），

∴x=5-

5．

②当∠ADE=90°时，得∠DBE=∠DEB=45°，舍去，

当∠EAD=90°时，点E与点O重合，得x=[5/2]．

当∠AED=90°时，作AH⊥OB于H，证明△AHE∽△ECD，可得HE=1．

∴OE=2．

∴2+2（5-x）=5，x=[7/2]．

③当[5/2]≤x＜5时，S=[1/2]×（5-x）×[5−x/2]=[1/4]（x-5）2；

当2≤x＜[5/2]时，设DE、OA交于P，作PM⊥OB与M，设PM=h，则OM=[h/2]，EM=2h，OE=5-2x．

∴5-2x+[h/2]=2h，h=[2/3]（5-2x），

∴S=[1/2]×（5-x）×[5−x/2]-[1/2]×（5-2x）×[2/3]（5-2x）=-[13/12]x2+[25/6]x-[25/12]．

点评：

本题考点： 一次函数综合题．

考点点评： 本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形的翻折变换、图形的面积求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．

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