在RT三角形ABC中,∠C=90°,E是BC边上一点,以BE为直径的圆交AB于D,求证A,D,E,C四点在同一个圆上?
4个回答
1）首先连接OD,由OE∥AB,根据平行线与等腰三角形的性质,易证得△COE≌△DOE,即可得∠ODE=∠OCE=90°,则可证得ED为⊙O的切线；
（2）连接CD,根据直径所对的圆周角是直角,即可得∠CDA=90°,利用勾股定理即可求得OE的长,又由OE∥AB,证得△COE∽△CAB,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得AB的长,然后利用三角函数的知识,求得CD与AD的长,然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案．
（1）证明：连接OD,
∵OE∥AB,
∴∠COE=∠CAD,∠EOD=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠COE=∠DOE,
在△COE和△DOE中,
{OC=OD ∠COE=∠DOE DE=OE,
∴△COE≌△DOE（SAS）,
∴∠ODE=∠OCE=90°,
∴ED⊥OD,
∴ED是圆O的切线；
（2）连接CD,交BF于M,
在Rt△ODE中,
∵OD= 32,DE=2,
∴OE= OD2+DE2= (32)2+22= 52,
∵DE∥AB,
∴△COE∽△CAB,
∴ OCAC= OEAB,
∴AB=5,
∵AC是直径,
∴∠ADC=90°,
∴cos∠BAC= ACAB= ADAC= 35,
∴AD= 95,
∴CD= AC2-AD2= 125,
∵EF∥AB,
∴ CMDM=OCOA,
∴CM=DM= 12CD= 65,
∴EF=OE+OF=4,BD=AB-AD=5- 95= 165,
∴S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF= 12（AB+EF）•DM- 12（BD+EF）•DM= 12×（5+4）× 65- 12×（ 165+4）× 65= 2725．
∴△ADF的面积为 2725．
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