首先由牛顿力学,单摆的运动可作如下描述：
单摆受到的重力矩为：
M = - m * g * l * Sin x.
其中m为质量,g是重力加速度,l是摆长,x是摆角.
我们希望得到摆角x的关于时间的函数,来描述单摆运动.由力矩与角加速度的关系不难得到,
M = J * β.
其中J = m * l^2是单摆的转动惯量,β = x''（摆角关于时间的2阶导数）是角加速度.
于是化简得到
x'' * l = - g * Sin x.
我们对上式适当地选择比例系数,就可以把常数l与g约去,再移项就得到化简了的运动方程
x'' + Sin x = 0.
因为单摆的运动方程（微分方程）是
x'' + Sin x = 0…………（1）
而标准的简谐振动（如弹簧振子）则是
x'' + x = 0………………（2）
我们知道（1）式是一个非线性微分方程,而（2）式是一个线性微分方程.所以严格地说上面的（1）式描述的单摆的运动并不是简谐运动.
不过,在x比较小时,近似地有Sin x ≈ x.（这里取的是弧度制.即当x -> 0时有Sin x / x = o(1).）因而此时（1）式就变为（2）式,单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动.
然后说一下为什么是5°.由于Sin x ≈ x这个近似公式只在角度比较小的时候成立（这一个可以从正弦函数的在原点附近的图象近似看出）,所以只有在小角度下（1）式化作（2）式才是合理的.
事实上5°≈0.087266弧度,Sin 5°≈0.087155,二者相差只有千分之一点几,是十分接近的.在低精度的实验中,这种系统误差可以忽略不计（因为实验操作中的偶然误差就比它大）.但如果换成25°,误差高达百分之三,就不宜再看成是简谐振动了.
由于正弦函数的性质,这个近似是角度越小,越精确,角度越大越不精确.如果角度很大（比如60度处,误差高达17%）,就完全不能说它是简谐振动了.
伽利略第一个发现摆的振动的等时性,并用实验求得单摆的周期随长度的二次方根而变动.惠更斯制成了第一个摆钟.单摆不仅是准确测定时间的仪器?也可用来测量重力加速度的变化.惠更斯的同时代人天文学家J.里希尔曾将摆钟从巴黎带到南美洲法属圭亚那,发现每天慢 2.5分钟,经过校准,回巴黎时又快 2.5分钟.惠更斯就断定这是由于地球自转引起的重力减弱.I.牛顿则用单摆证明物体的重量总是和质量成正比的.直到20世纪中叶,摆依然是重力测量的主要仪器.
[sir_chen补充]
上面提到是角度比较小的时候单摆的近似公式,但是对于我个人而言比较喜欢追求完美.所以在此补充一点,也就是在任意角度下单摆的周期公式.但在此之前提出两个概念:第一类不完全椭圆积分:F(φ,x)=∫[0,φ]dθ/√(1-x²sin²θ),第一类完全椭圆积分K(x)=F(π/2,x)=∫[0,π/2]dθ/√(1-x²sin²θ)(∫[a,b]f(x)dx表示对f(x)在区间[a,b]上的定积分)
设摆长为l,摆线与竖直方向的夹角为θ,那么单摆的运动公式为:
d²θ/dt²+g/l*sinθ=0
令ω=dθ/dt,上式改写成:
ωdω/dθ+g/l*sinθ=0
其全解为:
ω²=2g/l*cosθ+c
给定初始条件θ=α(0≤α≤π),ω=0,则其特解为:
ω²=2g/l*(cosθ-cosα)=4g/l*(sin²(α/2)-sin²(θ/2))
所以t=∫dθ/ω=1/2*√(g/l)*∫[0,θ]dθ/√(sin²(α/2)-sin²(θ/2))
做变换sin(θ/2)=sin(α/2)sinφ,则
t=√(l/g)*∫[0,φ]dφ/√(1-sin²(α/2)*sin²φ)=√(l/g)*F(φ,sin(α/2))
以上是单摆从任意位置摆动任意角的公式,当单摆从任意位置开始摆动到竖直位置时,θ=α,此时φ=π/2
那么T=4t=4√(l/g)*F(π/2,sin(α/2))=4√(l/g)*K(sin(α/2)),此处的α就是常说的摆角,现在看一下不同的摆角对周期的影响
单摆的近似公式为T=2π√(l/g),精确公式为T=4√(l/g)*K(sin(α/2)),记相对误差为e(α)
那么e(α)=(2K(sin(α/2))-π)/(2K(sin(α/2))
用Maple计算得到:
e(1)=0.0019%
e(2)=0.0076%
e(3)=0.0171%
e(4)=0.0305%
e(5)=0.0476%
e(6)=0.0685%
e(7)=0.0933%
e(8)=0.1218%
e(9)=0.1542%
e(10)=0.1903%
e(11)=0.2303%
e(12)=0.2741%
e(13)=0.3217%
e(14)=0.3730%
e(15)=0.4282%
e(16)=0.4872%
e(17)=0.5500%
e(18)=0.6165%
e(19)=0.6869%
e(20)=0.7611%
