已知正六棱柱的12个定点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的体积最大时,其高的值为?
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球心连接六棱柱的一个顶点的直线与六棱柱高的夹角为α

六棱柱边长为3sinα

六棱柱高为6cosα

六棱柱底面积为[ (27√3)(sinα)^2 ] / 2

六棱柱体积V=[ (27√3)(sinα)^2 ] * 6cosα / 2

V ' =81√3 [ 2sinα -3(sinα)^3 ]

令V ' =0

sinα=0 或 sinα=√6/3

sinα=0时 α=0 或 π 符合题意 所以舍去

取sinα=√6/3 (计算得cosα=√3/3)

V '' =81√3 [ 2cosα -9cosα (sinα)^2 ]

代入sinα=√6/3 cosα=√3/3

V ''

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