答案是4.
设内切球半径r,则表面积4Pi=4Pi*r^2,故r=1. (1)
设圆锥高h,显然h大于球直径,即h>2.
设底面半径R.设圆锥顶点和球相切点之间的距离是x.
考虑圆锥带内切球的中截面.由勾股定理,我们有
R^2+(R+x)^2=h^2, (2)
x^2+r^2=(h-r)^2. (3)
联立(1)(2)(3), 得到
R^2=h/(h-2). (4)
圆锥体积为V=Pi*R^2*h/3.
由(4)知,体积最小即
R^2*h=h^2/(h-2)
最小.记上式为f(h). 令f'(h)=0,因h>2,所以h=4是f的唯一一个极值点.显然当h接近2或者h接近无穷时,直观可见圆锥体积趋近无穷,所以h=4是使体积最小的高.
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