调和级数
形如1/1+1/2+1/3+……+1/n+..的级数 又称p级数
是发散级数 在n趋于无穷时没有极限
很早就有数学家研究,比如中世纪后期的数学家Oresme在1360年就证明了这个级数是发散的.他的方法很简单：
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+...
1/2+1/2+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+...
注意后一个级数每一项对应的分数都小数调合级数中每一项,而且后面级数的括号中的数值和都为1/2,这样的1/2有无穷多个,所以后一个级数是趋向无穷大的,进而调合级数也是发散的.
随后很长一段时间,人们无法使用公式去逼近调合级数,直到无穷级数理论逐步成熟.1665年Newton(牛顿)在他的著名著作《流数法》中推导出第一个幂级数：
ln(1+x) = x - x2/2 + x3/3 - ...
Euler(欧拉)在1734年,利用Newton的成果,首先获得了调和级数有限多项和的值.结果是：
1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)
他的证明是这样的：
根据Newton的幂级数有：
ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ...
于是：
1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...
代入x=1,2,...,n,就给出：
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 + ...
相加,就得到：
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ...
后面那一串和都是收敛的,我们可以定义
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r
Euler近似地计算了r的值,约为0.577218.这个数字就是后来称作的欧拉常数.不过遗憾的是,我们对这个常量还知之甚少,连这个数是有理数还是无理数都还是个谜 !
