例7（2006，武汉）
已知二次函数y=x2-(m+1)x+m的图像交x轴于A（x1，0），B（x2，0）两点，交y轴正半轴于点C，且x12+x22=10.
（3） 求此二次函数的解析式；
（4） 是否存在经过点D（0，- ）的直线与二次函数的图像交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？如果存在，求出直线MN的函数解析式；如果不存在，请说明理由。
（1）根据题意，得
x1+ x2=m+1, x1x2=m,
由x12+x22=10,
即(x1+x2)2-2x1x2=10,
∴(m+1)2-2m=10,
解得m=3或m=-3，
由△=[-（m+1）]2-4m>0
得(m-1)2>0,即m≠1,
又∵二次函数图像交y轴正半轴于点C，∴当x=0时，y>0,即m>0,因此m的取值为3。从而所求二次函数的解析式为y=x2-4x+3.
（2）假设存在经过点D（0，- ）的一条直线与二次函数的图像交于点M、N，一x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称。如图19
设M（xm,ym）,N(xn,yn),经过点D（0，- ）的直线（此直线不可能是y轴）的函数解析式是y=kx- .当点M、N关于点E对称时ym+yn=0
由y=x2-4x+3.y=kx-
（消去y得：x2-(4+k)x+ =0,
∴xm+xn=k+4,
∴ym+yn=(kxm- )+(kxn- )
=k(xm+xn)-5
=k(k+4)-5
由ym+yn=0,得k2+4k-5=0,
解得k1=1,k2=-5.
当k=-5时，方程x2-(k+4)x+ =0的
的根的判别式⊿＜0， 图 19
∴K=1，所以直线MN的解析式是Y=X-
所以存在经过点D（0，- ）的直线与二次函数的图像交于点M 、N,使得点M 、N关于点E对称。
说明：本题是与一次函数、二次函数有关的函数综合题，要善于运用韦达定理解题。把点M、N关于点E对称转化为“YM +Y N=0” 在解题中起了重要作用，但不要忘记检验判别式⊿＞0
