如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是弧APB上任一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB
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解题思路：（1）连接OA．设OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA=1，OF=[1/2]，借助勾股定理可求得AF的长；
（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB+∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE+∠DBA是定值，那么CAB+∠ABC就是定值，而∠DAE+∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；
（1）连接OA．设OP与AB的交点为F．
∵⊙O的半径为1（已知），
∴OA=1．
∵弦AB垂直平分线段OP，
∴OF=[1/2]OP=[1/2]，AF=BF（垂径定理），
在Rt△OAF中，AF=
OA2−OF2=
12−(
1
2)2=
3
2（勾股定理），
∴AB=2AF=
3．
（2）∠ACB是定值．
理由：连接AD，BD，OA，OB，
∵DE⊥AB于点E，点D为圆心、DE长为半径作⊙D，
∴AB与⊙D相切于E点，
又∵过点A、B作⊙D的切线，
∴⊙D是△ABC的内切圆，
∵OB=1，OF=[1/2]，OF⊥AB，
∴∠FBO=30°（30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴∠FOB=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠ADB=∠AOB=120°．
又⊙D是△ABC的内切圆，
∴∠DAB=[1/2]∠CAB，∠DBA=[1/2]∠CBA，
∴∠DAB+∠DBA=[1/2]（∠CAB+∠CBA）=180°-∠ADB=60°，
∴∠CAB+∠CBA=120°，
∴∠ACB的度数为60°（三角形内角和定理）．
点评：
本题考点： 圆的综合题．
考点点评： 考查了圆的综合题．本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题．
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