柯西不等式不知你学过没
(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)≥(a+b+c)^2
即3*(a^2+b^2+c^2)≥(a+b+c)^2=1
所以a^2+b^2+c^2≥1/3
或者
a^2+b^2>=2ab,b^2+c^2>=2bc,c^2+a^2>=2ac
累加得到2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca),a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
两边同时加1/2*(a^2+b^2+c^2)得到3/2(a^2+b^2+c^2)>=1/2(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)
右边等于(a+b+c)^2=1,
所以3/2(a^2+b^2+c^2)>=1/2,
a^2+b^2+c^2≥1/3
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