不存在满足条件的整数m、n.
［证明］
∵2010是偶数,∴m、n的奇偶性相同.
当m、n都是偶数时,设m＝2a、n＝2b,则：4a^2＋4b^2＝2010,∴2a^2＋2b^2＝1005.
左边是偶数,右边是奇数,自然是不合理的.
∴这种情况应舍去.
当m、n都是奇数时,设m＝2p＋1、n＝2q＋1,则：4p^2＋4p＋1＋4q^2＋4q＋1＝2010,
∴4p（p＋1）＋4q（q＋1）＝2008,∴p（p＋1）＋q（q＋1）＝502.
∵p（p＋1）、q（q＋1）的取值具有对称性,又15×16＝240＜502/2＜272＝16×17,
∴若当p（p＋1）∈［1×2,16×17］时没有满足条件的p,则满足条件的p就不存在了.
依次令p的取值为：1、2、3、4、5、······、16,容易得出没有合适的p满足条件.
∴不存在满足条件的整数m、n.
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