解题思路：（1）由函数
f(x)=
1
3
x
3
-a
x
2
-x+1(a∈R)
，知f′（x）=x2-2ax-1，由函数f（x）在x=x1，x=x2处取得极值，知x1+x2=2a，x1•x2=-1，由|x1-x2|=2，能求出a=0．由此能求出f（x）的单调区间．
（2）设 F（x）=f（x）-g（x），则F（x）=
1
3
x
3
-(a+
1
2
)x
2
+2ax+
1
6
，由F′（x）=x2-（2a+1）x+2a=（x-1）（x-2a），
0＜a＜
1
2
，-2≤x≤0，知F（x）在[-2，0]上是增函数，再由F（-2）＜0，F（0）＞0，知曲线f（x）与
g(x)=
1
2
x
2
-(2a+1)x+
5
6
，（-2≤x≤0）的交点个数是1个．
（1）∵函数f(x)=
1
3x3-ax2-x+1(a∈R)，
∴f′（x）=x2-2ax-1，
∵函数f（x）在x=x1，x=x2处取得极值，
∴x1+x2=2a，x1•x2=-1，
∵|x1-x2|=2，
∴
(x1+x2)2-4x1x2=
4a2+4=2，
∴a=0．
∴f′（x）=x2-1，
由f′（x）=x2-1＞0，得x＜-1，或x＞1；
由f′（x）=x2-1＜0，得-1＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-1）增，在（-1，1）减，在（1，+∞）增．
（2）设 F（x）=f（x）-g（x），
∵f(x)=
1
3x3-ax2-x+1(a∈R)，
g(x)=
1
2x2-(2a+1)x+
5
6，（-2≤x≤0），
∴F（x）=
1
3x3-(a+
1
2)x2+2ax+
1
6，
∴F′（x）=x2-（2a+1）x+2a=（x-1）（x-2a），
∵0＜a＜
1
2，-2≤x≤0，
∴F′（x）=x2-（2a+1）x+2a=（x-1）（x-2a）＞0，
F（x）在[-2，0]上是增函数，
∵F（-2）=-[8/3-4a-2-4a+
1
6]＜0，
F（0）=[1/6＞0，
∴曲线f（x）与g(x)=
1
2x2-(2a+1)x+
5
6]，（-2≤x≤0）的交点个数是1个．
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．
考点点评： 本题考查导数在最大值和最小值问题中的应用，考查利用导数求两个函数的交点的数，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
“g(x)=12x2-(2a+1)x+56(-2≤x≤1)”应该更正为“g(x)=12x2-(2a+1)x+56，（-2≤x≤0）”．
