已知对任意正整数n，都有公式：12+22+…+n2=n×(n+1)×(2n+1)6，求分数12×(12+22)×(12+
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解题思路：首先把分数
1
2
×(
1
2
+
2
2
)×(
1
2
+
2
2
+
3
2
)×…×(
1
2
+
2
2
+…+
100
2
)
100!
化简，然后分别找出分母、分子中因数2、3的个数，进而求出化成最简分数后的分母即可．
根据题意，可得12＝
1×2×3
6，12+22＝
2×3×5
6，12+22+32＝
3×4×7
6，…12+22+…+n2=
n×(n+1)×(2n+1)
6，
所以
12×(12+22)×(12+22+32)×…×(12+22+…+1002)
100!
=[1×2×3/6×
2×3×5
6×
3×4×7
6]×…×
n×(n+1)×(2n+1)
6×[1/100!]
=
(1×2×…100)×(2×3×…×101)×(3×5×…×201)
6100•100!
=
(2×3×…×101)×(3×5×…×201)
6100
=
(2×4×6×…×100)×(3×5×…×101)×(3×5×…×201)
6100
分子中2×4×6×…×100含有97个因数2，22个因数3，
分子中3×5×7×…×101含有26个因数3，
分子中3×5×7×…×201含有50个因数3，
所以分子中一共含有97个因数2，98个因数3，分母中一共含有100个因数2，100个因数3，
因此分子、分母约分后分母还有3个因数2，2个因数3，
由2×2×2×3×3=72，
可得分数
12×(12+22)×(12+22+32)×…×(12+22+…+1002)
100!化成最简分数后的分母是72．
点评：
本题考点： 繁分数的化简．
考点点评： 此题主要考查了繁分数的化简的应用，解答此题的关键是求出分母、分子中因数2、3的个数．
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