证明：（1）∵PO⊥α,连接OA、OB、OC,则△POA,△POB,△POC都是直角三角形,又∵
PA=PB=PC,∴ △POA,△POB,△POC是全等三角形,∴OA=OB=OC,即点O是△ABC的外心.
（2）∵ PA=PB=PC,由（1）知点O是△ABC的外心,必有OA=OB=OC,∵C=90°,由直角三角形的性质可知,O为斜边的中点,即点O是AB边的中点.
（3）∵PB⊥PC⊥PA,∴ PA⊥平面PBC,BC在平面PBC,∴ PA⊥BC,∵PO⊥平面ABC,
∴ PO⊥BC,即BC⊥平面PAO,AO在平面PAO,∴AO⊥BC,同理可证BO⊥AC,∴点O是△ABC的垂心
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