对函数f(x),若任意a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)为一三角形的三边长,则称f(x)为“三角型函数”,已知
1个回答

解题思路:先将函数化为f(x)=

1+

m−2

2

x

+2

的形式,然后结合单调性,结合构成三角形的条件构造不等式即可.

原函数可化为f(x)=1+

m−2

2x+2.

当m=2时,f(x)=1,显然符合题意;

当m≠2时,f(x)=1+

m−2

2x+2在R上是单调函数,此时若该函数为“三角形函数”,只需2f(x)min>f(x)max即可.

当m>2时,易知f(x)在定义域内单调递减,此时当x→+∞时,[m−2

2x+2→0,故f(x)→1;又x→-∞时,2x→0,故2x+2→2,所以f(x)→1+

m−2/2].

此时只需2≥1+[m−2/2].解得2<m≤4;

当m<2时,易知f(x)在定义域内单调递增,此时当x→+∞时,[m−2

2x+2→0,故f(x)→1;又x→-∞时,2x→0,故2x+2→2,所以f(x)→1+

m−2/2].

此时需1≤2+2×[m−2/2].解得1≤m<2;

综上,m的范围是[1,4].

点评:

本题考点: 函数恒成立问题.

考点点评: 本题实质上是一个不等式恒成立问题,因此最终转化为函数的最值问题求解.