已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1）=0，当x＞0时有x f′(x)−f(x)x2＞0，则不等式xf（x
1个回答
解题思路：构造g（x）=
f(x)
x
，可得g′（x）=
x
f
′
(x)−f(x)
x
2
，①当x＞0时有
x f′(x)−f(x)
x
2
＞0
，可得函数g（x）在x＞0时单调性，可得
f(x)
x
＞0
=
f(1)
1
的解集，利用
f(x)
x
＞0
⇔xf（x）＞0，即可得出不等式xf（x）＞0的解集；
②由于f（x）是偶函数，当x＜0时，xf（x）＞0⇔-xf（-x）＜0，解得即可．
令g（x）=
f(x)
x，则g′（x）=
xf′(x)−f(x)
x2，①当x＞0时有
x f′(x)−f(x)
x2＞0，∴函数g（x）在x＞0时单调递增，∵f（1）=0，∴
f(x)
x＞0=
f(1)
1的解集为{x|x＞1}，又
f(x)
x＞0⇔xf（x）＞0，∴不等式xf（x）＞0的解集为{x|x＞1}；
②由于f（x）是偶函数，∴当x＜0时，xf（x）＞0⇔-xf（-x）＜0，解得0＜-x＜1，即-1＜x＜0．
综上可知：不等式xf（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）．
故选B．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．
考点点评： 通过构造函数g（x）=f(x)x，利用导数研究其单调性及利用偶函数的性质是解题的关键．
相关问题
