解题思路：（1）由已知条件得
S
n
＝
n
2
+2n，n∈
N
*
，由此推导出a1=S1=3，a2=5，an=Sn-Sn-1=2n+1，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由（1）得bn=[1
(2n+1)(2n+3)(2n+5)
=
1/4
[
1
(2n+1)(2n+3)
−
1
(2n+3)(2n+5)
]
，由此能求出k．
（3）利用裂项求和法求出Tn=
1
4
[
1
3×5
−
1
(2n+3)(2n+5)
]
=
1
60
−
1
4(2n+3)(2n+5)]，由此能证明Tn＜[1/60]．
（1）∵点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上．
∴Sn＝n2+2n，n∈N*，
∴a1=S1=3，（2分）
又a1+a2＝S2＝22+2×2＝8，∴a2=5．（4分）
由（1）知，Sn＝n2+2n，n∈N*，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1，（6分）
由（1）知，a1=3=2×1+1满足上式，（7分）
∴数列{an}的通项公式为an=2n+1．（8分）
（2）由（1）得bn=[1
(2n+1)(2n+3)(2n+5)
=
1/4[
1
(2n+1)(2n+3)−
1
(2n+3)(2n+5)]，
∵bn=
1
anan+1an+2]=k（[1
anan+1-
1
an+1an+2），
∴k=
1/4]．
（3）证明：Tn=[1/4[
1
3×5−
1
5×7+
1
5×7−
1
7×9+…+
1
(2n+1)(2n+3)−
1
(2n+3)(2n+5)]（12分）
=
1
4[
1
3×5−
1
(2n+3)(2n+5)]
=
1
60−
1
4(2n+3)(2n+5)]＜[1/60]．
∴Tn＜[1/60]．（14分）
点评：
本题考点： 数列的求和．
考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．
1年前
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