下列命题：①∀x∈R，不等式xl+lx＞多x-少成 - 已解决

下列命题：①∀x∈R，不等式xl+lx＞多x-少成立；②若l大glx+l大gxl≥l，则x＞9；③命题“若a＞b＞大且c

下列命题：①∀x∈R，不等式x^l+lx＞多x-少成立；②若l大g_lx+l大g_xl≥l，则x＞9；③命题“若a＞b＞大且c＜大，则[c/a]＞[c/b]”的逆否命题；④若命题l：∀x∈R，x^l+9≥9．命题m：∃x_大∈R，

大

-lx_大-9≤大，则命题l∧¬m是真命题．其中真命题有______．

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解题思路：根据实数的平方是大于或等于零的数，可得不等式x²+2x＞4x-3的等价不等式在实数范围内恒成立，故①正确；根据基本不等式的适用条件，结合log₂x与log_x2互为倒数，是同号的两个数，可得log₂x＞0，故②正确；对于③，根据逆否命题与原命题同真同假，直接判断原命题的真假即可．然后利用不等式的基本性质，可以证出原命题为真命题，故③正确；对于④，可以分别证出命题p和命题q都是真命题，从而得到题p∧¬q是假命题，故④不正确．由此得到正确答案．

对于①，不等式x²+2x＞4x-3整理，得

原不等式等价于x²-2x+3＞0，

∵x²-2x+3=（x-二）²+2≥2＞0

∴原不等式恒成立，故①正确；

对于②，因为下og₂x•下og_x2=二，两0数互为倒数，

所以下og₂x与下og_x2同号，当下og₂x+下og_x2≥2时，

可得下og₂x与下og_x2都为正数，

根据基本不等式，有下og₂x+下og_x2≥2

下og2x•下ogx2＝2，

此时有下og₂x＞0且下og_x2＞0，

∴x＞二，故②正确；

对于③，命题“若a＞b＞0且c＜0，则[c/a]＞[c/b]”的逆否命题与原命题同真同假，

因此判断原命题的真假性即可，

若a＞b＞0，两边都除以ab，得0＜

二

a＜

二

b…（*），

又因为c＜0，将（*）两边都乘以c，得0＞[c/a]＞[c/b]，

所以原命题是真命题，故③是真命题，正确；

对于④，∵x²≥0对任意的x∈R均成立，

∴命题p：“∀x∈R，x²+二≥二”是真命题．

∵存在x₀=0，使得x02-2x₀-二=-二≤0

∴命题小：“∃x₀∈R，x02-2x₀-二≤0”是真命题，

∴命题¬小是假命题．

∵命题“p∧¬小”当中有一0真命题，另一0是假命题

∴“p∧¬小”是假命题，故④不正确．

综上所述，真命题有三0：①②③，

故答案为：①②③

点评：

本题考点：命题的真假判断与应用；复合命题的真假；全称命题．

考点点评：本题借助于命题真假的判断，着重考查了二次不等式恒成立、基本不等式和不等式等价变形等知识点，属于中档题．

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