过抛物线焦点F的直线交抛物线于P,Q两点,弦PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R,求证：丨FR丨=1/2丨PQ丨
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设抛物线为y^2=2px(p>0),PQ斜率为k,准线为l,

作PP‘⊥l于P’,QQ‘⊥l于Q’,设PQ中点为M,作MM‘⊥l于M’,

设M‘（x0,y0）,则MM’为梯形PQQ‘P’的中位线

∴PQ=PF+QF=PP‘+QQ’=2MM‘=p+2x0

当焦点在x轴正半轴时,设P(x1,y1),Q(x2,y2)

则y1^2=2px1 y2^2=2px2

y2^2-y1^2=2p(x2-x1) 2y0·k=2p即ky0=p

因为MR⊥PQ,所以MR斜率为 -1/k

所以MR：y-y0=-1/k(x-x0)

将y=0代入上式,则R坐标为（ky0+x0,0)

所以|FR|=ky0+x0-p/2

因为ky0=p

所以|FR|=x0+p/2=1/2|PQ|

同理可证,当焦点在其他位置时上述结论成立.

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