判断题:任意矩阵A与它的伴随矩阵A*有完全相同的特征向量.
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分两种情况考虑:

1.如果A可逆,则原命题成立.

A*=A^(-1)*const const是一个常数

设V是A的特征向量,设V的特征值为L

则:V=I*V = A^(-1)*A*V=A^(-1)*L*V

所以

A^(-1)*V=V/L

所以V是A^(-1)的特征向量.

因为A^(-1)和A*只差常数.

所以V是A*的特征向量.

2.如果A是奇异的(不可逆).

则原命题不一定成立,反例如下:

A:=matrix([[-3,6,-3],[6,-12,6],[-3,6,-3]])

则

A*=matrix([[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]])

所以,任意的向量都是A＊的特征向量．但并不是任意向量都是A的特征向量．

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