求不定积分∫1/[1+ln√x] dx
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令1+ln√x=t,则x=e^(2t-2),dx=2e^(2t-2)dt

∫ 1/[1+ln√x] dx

=∫ 2e^(2t-2)/t dt

=2/(e^2) * ∫ e^(2t)/t dt

∫ e^(2t)/t dt是超越积分,没有有限解析式

对e^(2t)进行泰勒展开

=2/(e^2) * ∫ (Σ[n=(0,∝)] t^(2n)/(2n!))/t dt

=2/(e^2) * ∫ (1/t + Σ[n=(1,∝)] t^(2n-1)/(2n!)) dt

=2/(e^2) * ( lnt + Σ[n=(1,∝)] t^(2n)/[2n*(2n!)] + C ),C∈R

将1+ln√x=t代入

所以 ∫ 1/[1+ln√x] dx = 2/(e^2) * ( ln(1+ln√x) + Σ[n=(1,∝)] (1+ln√x)^(2n)/[2n*(2n!)] + C ),C∈R

这是一个无限解析式

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