已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（1，e），且f（x）有极值．
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解题思路：（1）由f（x）=ax+lnx求导，再由f（x）有极值知f′（x）=0解，且在两侧导函数正负相异求解．
（2）由（Ⅰ）可知f（x）的极大值为
f(−
1
a
)＝−1+ln(−
1
a
)
，再求得端点值f（1）=a，f（e）=ae+1，比较后取最小值和最大值，从而求得值域．
（3）证明：由：∀x1∈（1，e），∃x0∈（1，e），使得g（x0）=f（x1）f（x1）即研究：f（x）的值域是g（x）的值域的子集，所以分别求得两函数的值域即可．
（1）由f（x）=ax+lnx求导可得：f′(x)＝a+
1
x．（2分）
令f′(x)＝a+
1
x=0，可得a＝−
1
x
∵x∈（1，e），∴−
1
x∈(−1，−
1
e)∴a∈(−1，−
1
e)（3分）
又因为x∈（1，e）
所以，f（x）有极值所以，实数a的取值范围为(−1，−
1
e)．（4分）
（2）由（Ⅰ）可知f（x）的极大值为f(−
1
a)＝−1+ln(−
1
a)（6分）
又∵f（1）=a，f（e）=ae+1
由a≥ae+1，解得a≤
1
1−e又∵−1＜
1
1−e＜−
1
e
∴当−1＜a≤
1
1−e时，
函数f（x）的值域为（ae+1，-1+ln（−
1
a）]（8分）
当[1/1−e＜a＜−
1
e]时，
函数f（x）的值域为（a，-1+ln（−
1
a）]．（10分）
（3）证明：由g（x）=x3-x-2求导可得g'（x）=3x2-1（11分）
令g'（x）=3x2-1=0，解得x＝±
3
3
令g'（x）=3x2-1＞0，解得x＜−
3
3或x＞
点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；函数的值域；函数恒成立问题．
考点点评： 本题主要考查用导数来研究函数的单调性，极值，最值等问题，以及集合思想的应用．
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