已知一条直线经过点P(2,1),且与圆x^2+y^2=10相交,截得的弦长为2√5,求这条直线的方程.
过P∥y轴的直线截圆得的弦长≠2√5,故符合条件的直线存在斜率
设这条直线的斜率为k,这条直线的方程y-1=k(x-2)→
直线的方程kx-y-2k+1=0
圆x^2+y^2=10的圆心O(0,0)到直线的距离
d=｜0-0-2k+1｜√(k^2+1)=｜1-2k｜√(k^2+1)
d与弦长一半√5与半径√10构成直角三角形
d^2+√5^2=√10^2
d^2+5=10
d^2=5
[｜1-2k｜√(k^2+1)]^2=5
(1-2k)^2/(k^2+1)=5
(1-2k)^2=5(k^2+1)
1-4k+4k^2=5k^2+5
k^2+4k+4=0
(k+2)^2=0
k=-2
∴这条直线的方程为y-1=-2(x-2),即
2x+y-5=0
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