中心在原点,焦点在x轴上且离心率为根号三/2的椭圆与过点P(2,1)的直线交于A,B两点
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根据题意

c/a=√3/2

c²/a²=3/4

令c²=3t,a²=4t

则b²=a²-c²=t

方程：x²/4t+y²/t=1即x²+4y²=4t

设直线方程：y-1=k(x-2)即y=kx-2k+1代入椭圆方程

化简：(4k²+1)x²+(8k-16k²)x+16k²-16k+4-4t=0

韦达定理：x1+x2=(16k²-8k)/(4k²+1),x1*x2=(16k²-16k+4-4t)/(4k²+1)

因为P为中点

所以x1+x2=4

(16k²-8k)/(4k²+1)=4解出k=-1/2

因为AB=根号10

所以

(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]=10

(1+1/4)[16-4*(16×1/4+16×1/2+4-4t)/(4×1/4+1)]=10

解出t=3

则a²=12,b²=3

椭圆方程：x²/12+y²/3=1

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