解题思路:由于
.
xyz
x+y+z]=[100x+10y+z/x+y+z]=1+[99x+9y/x+y+z],要使上式最小,显然z应该尽可能地大,于是z=9.从而原式=
1+
99x+9y
x+y+9
= 1+
9x+9y+81
x+y+9
+
90x−81
x+y+9
=10+
90x−81
x+y+9
要使此式最小,y也应尽可能大,由于x、y、z各不相同,取y=8,原式=10+[90x−81/x+17]=10+
90(z+17)
x+17
-[90×17+81/x+17]=100-[90×17+81/x+17],要使此式最小,x应尽可能小,但x≠0,故取x=1.故
.
xyz
x+y+z
的最小值是
189
1+8+9
=10.5
.
由于
.
xyz
x+y+z=[100x+10y+z/x+y+z]=1+[99x+9y/x+y+z],
当z=9时,其值最小;
又1+
99x+9y
x+y+9= 1+
9x+9y+81
x+y+9+
90x−81
x+y+9=10+
90x−81
x+y+9,
则y=8时,其值最小;
10+[90x−81/x+17]=10+
90(z+17)
x+17-[90×17+81/x+17]=100-[90×17+81/x+17],
要使此式最小,x应尽可能小,但x≠0,故取x=1.
所以
.
xyz
x+y+z的最小值是[189/1+8+9=10.5.
故答案为:10.5.
点评:
本题考点: 最大与最小.
考点点评: 通过将此分数进行分解变化,根据分数分子越小,分母越大的这一性质确定x、y、z的值是完成本题的关键.
1年前
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