解题思路：由于
.
xyz
x+y+z]=[100x+10y+z/x+y+z]=1+[99x+9y/x+y+z]，要使上式最小，显然z应该尽可能地大，于是z=9．从而原式=
1+
99x+9y
x+y+9
＝ 1+
9x+9y+81
x+y+9
+
90x−81
x+y+9
＝10+
90x−81
x+y+9
要使此式最小，y也应尽可能大，由于x、y、z各不相同，取y=8，原式=10+[90x−81/x+17]=10+
90(z+17)
x+17
-[90×17+81/x+17]=100-[90×17+81/x+17]，要使此式最小，x应尽可能小，但x≠0，故取x=1．故
.
xyz
x+y+z
的最小值是
189
1+8+9
＝10.5
．
由于
.
xyz
x+y+z=[100x+10y+z/x+y+z]=1+[99x+9y/x+y+z]，
当z=9时，其值最小；
又1+
99x+9y
x+y+9＝ 1+
9x+9y+81
x+y+9+
90x−81
x+y+9＝10+
90x−81
x+y+9，
则y=8时，其值最小；
10+[90x−81/x+17]=10+
90(z+17)
x+17-[90×17+81/x+17]=100-[90×17+81/x+17]，
要使此式最小，x应尽可能小，但x≠0，故取x=1．
所以
.
xyz
x+y+z的最小值是[189/1+8+9＝10.5．
故答案为：10.5．
点评：
本题考点： 最大与最小．
考点点评： 通过将此分数进行分解变化，根据分数分子越小，分母越大的这一性质确定x、y、z的值是完成本题的关键．
1年前
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