设f（x）在x=0处二阶可导，又limx→0f(x)1−cosx=A，求：
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解题思路：（Ⅰ）将已知的极限，根据洛必达法则化简，就可以求得f′（0）与f″（0）的值；（Ⅱ）先将所求极限中的变限积分利用换元法化简，再使用洛必达法则求解．
（Ⅰ）∵
lim
x→0
f(x)
1−cosx=A，且x→0时，1-cosx～[1/2x2
∴
lim
x→0
f(x)
1−cosx]=
lim
x→0
f(x)
1
2x2=A
即
lim
x→0
f(x)
x2＝
1
2A…①
而f（x）在x=0处二阶可导
∴
lim
x→0f(x)＝f(0)＝0
且由洛必达法则，①式变为：
lim
x→0
f′(x)
2x＝
lim
x→0
f″(x)
2＝
1
2A
∴f'（0）=0，f''（0）=A
（Ⅱ）令u=x2-t2，则
∫x0tf(x2−t2)dt=[1/2
∫x20f(u)du
∴
lim
x→0
∫x0tf(x2−t2)dt
x6]=[1/2
lim
x→0
∫x20f(u)du
x6＝
lim
x→0
xf(x2)
6x5]
=[1/6
lim
x→0
f(x2)
x4＝
1
6
lim
t→0
f(t)
t2＝
A
12]．
点评：
本题考点： 积分上限函数及其求导；等价无穷小代换定理及其应用．
考点点评： 此题考查了洛必达法则的使用和变限积分函数的导数，是基础知识点的综合．
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