存在可逆阵P 使得 A=P^(-1)TP T是上三角矩阵 且对角元为A的n个特征值λ1,λ2,..λn
由定义e^(A)=I+A/1!+A^2/2!+...注意到A^k=(P^(-1)TP )^k=P^(-1)T^kP T^k还是上三角矩阵 且对角元(λ1)^k,(λ2)^k,..(λn)^k .所以e^(A)是上三角阵,且对角元为e^(λ1),e^(λ2),...e^(λn)
所以det(e^(A))=e^(λ1)*e^(λ2)*...*e^(λn)=e^(λ1+λ2+..+λn) =e^(tr(A))
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