（1）∵抛物线y=ax 2+b的图象经过点A（4，4）和点B（0，-4），
∴
16a+b=4
b=-4 ，解得：
a=
1
2
b=-4 ，
∴抛物线的解析式为： y=
1
2 x 2 -4 ；…（3分）
（2）过点A作AE⊥x轴于E，连接AB交x轴于点M，
OB=AE=4，∠MOB=∠AEM=90°，∠OMB=∠AME，
∴在△OMB与△EMA中，
∴
OB=AE
∠MOB=∠AEM
∠OMB=∠AME
∴△OMB≌△EMA，
∴MB=MA，OM=ME=
1
2 OE=2 ，
∴以M为圆心，MB为半径的⊙M，即为以AB为直径的圆．
由勾股定理得 MB=
O M 2 +O B 2 =
2 2 + 4 2 =2
5 ，
∴点C的坐标为 (2-2
5 ，0) ， (2+2
5 ，0) ．
（3）如图2，当点C在点（4，0）的右侧时，
作AE⊥x轴于E，DF⊥x轴于F，
∵△ACD为等腰直角三角形，
∴AC=DC，∠ACD=90°，即∠ACF+∠DCF=90°，
∵∠FDC+∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠FDC，
又∵∠DFC=∠AEC=90°，
在△DFC与△CEA中，
∠ACF=∠FDC
AC=DC
∠DFC=∠AEC
∴△DFC≌△CEA，
∴EC=DF，FC=AE，
∵A（4，4），
∴AE=OE=4，
∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，
∴OF=CE，
∴OF=DF，
当点C与点（4，0）的重合时，点D与原点重合；
当点C在点（4，0）的左侧时，同理可得OF=DF；
∴综上所述，点D在直线y=-x的图象上．
设点C的坐标为（m，0），
则点D的坐标为（m-4，4-m），（13分）
又∵点D在抛物线 y=
1
2 x 2 -4 的图象上，
∴ 4-m=
1
2 (m-4 ) 2 -4 ，
解得：m 1=0，m 2=6，
∴当点C的坐标为（6，0）或（0，0）时，
点D落在抛物线 y=
1
2 x 2 -4 的图象上．
1年前
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