正八边形周长为40,那么它的边长为5.
考虑正八边形相邻两个顶点和外切圆圆心构成的等腰三角形.它顶角的大小为360/8=45度.
底边长为5,所以它腰长,即外切圆半径 r 满足 sin22.5 = (5/2)/r,
从而 r = 5/2sin22.5 = 5cos22.5/2sin22.5cos22.5 = 5cos22.5/sin45
=5√2cos22.5
由于 2cos方a=cos(2a)+1,所以 cos22.5 = 根号((cos45+1)/2)
从而 r = 5根号(cos45+1) = 5根号(√2/2 + 1)
外切圆周长 c = 2π r = 10π 根号((√2/2 + 1)
c大约为41,外切圆的周长应该比40大,又比较接近40才对.
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