求limsin[π根号(n^2+1)],n趋向正无穷.
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考查|sin[π根号(n^2+1)]|

原式=|sin{πn+π[根号(n^2+1)-n}|

其中:根号(n^2+1)-n可以分子有理化,变成1/[根号(n^2+1)+n]

而对任意x都有|sin(x+kπ)|=|sin(x)|

从而|sin{πn+π[根号(n^2+1)-n}|=|sin[π[根号(n^2+1)-n]|

=|sin{1/[根号(n^2+1)+n]}|

又知:-|sin{1/[根号(n^2+1)+n]}|≤sin{1/[根号(n^2+1)+n]}≤|sin{1/[根号(n^2+1)+n]}|

也就是:-|sin{1/[根号(n^2+1)+n]}|≤sin[π根号(n^2+1)]≤|sin{1/[根号(n^2+1)+n]}|

两边当n→∞时都趋于0所以

limsin[π根号(n^2+1)]=0,(n趋向正无穷)

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