如图,以正方体的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在正方形的对角
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设正方体边长为a,P(x1,x1,z1),Q(x2,a,a)
如图,则ΔGP'P和ΔGEA相似,
∴GP‘/EG=P'P/AE,即z1=P'P=√2(a-x1)*a/(√2 a)=a-x1
∴P(x1,x1,a-x1),向量PQ=(x2-x1,a-x1,x1) （0≤x1,x2≤a）
(1),由题意得：PQ⊥AG,
此时,x1=a/2,向量PQ=(x2-a/2,a/2,a/2),向量AG=(a,a,-a)
∴向量PQ·向量AG=a(x2-a/2)=0
∴x2=a/2,向量PQ=(0,a/2,a/2)
∴|PQ|=√2 a/2
(2),同理,PQ⊥CD,
此时x2=a/2,向量PQ=(a/2-x1,a-x1,x1),向量DC=(a,0,0)
∴向量PQ·向量DC=a(a/2-x1)=0
∴x1=a/2,向量PQ=(0,a/2,a/2)
∴|PQ|=√2 a/2
(3),由题意,PQ为CD和AG的公垂线
由(1)、(2)得：当x1=x2=a/2时,能够成线段PQ
且PQ为CD和AG的公垂线
∴|PQ|=√2 a/2,为最小值
验证：向量PQ=(x2-x1,a-x1,x1),向量AG=(a,a,-a),向量DC=(a,0,0)
PQ为CD和AG的公垂线
∴a(x2-x1)+a(a-x1)-ax1=0
a(x2-x1)=0
联立得：x1=x2=a/2
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