设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，x21+x22的最小值是______．
3个回答
解题思路：根据根与系数的关系得x1+x2=-2a，x1•x2=a2+4a-2，再变形得到
x
2
1
+
x
2
2
=（x1+x2）2-2x1•x2，再把x1+x2=-2a，x1•x2=a2+4a-2代入得到
x
2
1
+
x
2
2
=（-2a）2-2（a2+4a-2），整理得2a2-8a+4，配方得到2（a-2）2-4，由于2（a-2）2≥0，即可得到
x
2
1
+
x
2
2
的最小值为-4．
根据题意得x1+x2=-2a，x1•x2=a2+4a-2，
x21+
x22=（x1+x2）2-2x1•x2
=（-2a）2-2（a2+4a-2）
=2a2-8a+4
=2（a-2）2-4，
∵2（a-2）2≥0，
而
x21+
x22≥0，
∴
x21+
x22的最小值为0．
故答案为0．
点评：
本题考点： 根与系数的关系；非负数的性质：偶次方；配方法的应用．
考点点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-[b/a]，x1•x2=[c/a]．也考查了非负数的性质以及配方法的应用．
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