已知定义在R上的函数f(x)＝2xa−a2x(a＞0)有一个零点为0．
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解题思路：（Ⅰ）根据函数零点的定义，建立方程即可求实数a的值；
（Ⅱ）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）根据函数单调性的定义即可判断f（x）在（0，+∞）上的单调性．
（Ⅰ）定义在R上的函数f(x)＝
2x
a−
a
2x(a＞0)有一个零点为0．
∴f（0）=0，
即f（0）=[1/a−a＝0，
∵a＞0，∴a=1．；
（Ⅱ）当a=1时，
f（x）=2x-2-x，
则f（-x）=2-x-2x=-（2x-2-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（Ⅲ）f（x）在（0，+∞）上的单调递增．
任意设0＜x1＜x2，
则f(x1)−f(x2)＝2x1−2−x1−2x2+2−x2=(2x1−2x2)+
1
2x2−
1
2x1＝(2x1−2x2)
2x12x2−1
2x12x2]，
∵0＜x1＜x2，
∴2x1−2x20，
∴f(x1)−f(x2)＝(2x1−2x2)
2x12x2−1
2x12x2＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上的单调递增．
点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数奇偶性的定义和单调性的定义是解决本题的关键．
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