设函数f（x）=ln1x+2x+…+(n−1)x+ - 已解决

设函数f（x）=ln1x+2x+…+(n−1)x+nxan，其中a∈R，对于任意的正整数n（n≥2），如果不等式f（x）

设函数f（x）=ln

+…+(n−1

)

，其中a∈R，对于任意的正整数n（n≥2），如果不等式f（x）＞（x-1）lnn在区间[1，+∞）上有解，则实数a的取值范围是

{a|a

＞

}

{a|a

＞

}

．

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解题思路：根据题意，将原不等式等价变形为：（1-a）n^x＜1^x+2^x+3^x+…+（n-1）^x，再变量分离得到1-a＜（[1/n]）^x+（[2/n]）^x+（[3/n]）^x+…+（[n−1/n]）^x，原不等式在区间[1，+∞）上有解，即1-a小于右边的最大值．根据指数函数的单调性得到右边的最大值，最后结合n≥2即可得到实数a的取值范围．

不等式f（x）＞（x-1）lnn，即ln1x+2x+…+(n−1)x+nxan＞lnnx-1，∵对数的底e＞1，∴原不等式可化为1x+2x+3x+…+（n-1）x+nxa＞nx，移项得（1-a）nx＜1x+2x+3x+…+（n-1）x，因为n是正整数，所以两边都除以nx，得1-a...

点评：

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题给出对数型函数，求一个不等式在区间上有解的参数a的取值范围，着重考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了学生对基本初等函数的掌握，属于中档题．

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