已知:在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF
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解题思路:(1)中所给的是最特殊的一种情况,但对整个题来说,要从(1)中找到基本的解题思路,此题难的是构造全等三角形,从而证明线段相等.虽然(1)中没有要求步骤,但能正确的解出(1)可以给(2)和(3)定一个基调;

(2)是将(1)中的等边三角形变为等腰三角形,但起关键作用的条件没变,任然可以仿照(1)中的方法去做;

(3)中将三角形变为更一般的三角形,但和(1)比较起来还是有两个条件没变,而利用这两个条件能证明两个三角形相似,从而利用相似的对应边成比例得出结论.

(1)AE=EF;

证明:如图1,过点E作EH∥AB交AC于点H.

则∠BAC+∠AHE=180°,∠BAC=∠CHE,

∵AB=BC=AC,

∴∠BAC=∠ACB=60°,

∴∠CHE=∠ACB=∠B=60°,

∴EH=EC.

∵AD∥BC,

∴∠FCE=180°-∠D=120°,

又∵∠AHE=180°-∠BAC=120°,

∴∠AHE=∠FCE,

∵∠AOE=∠COF,∠AEF=∠ACF,

∴∠EAC=∠EFC,

在△AEH和△FEC中,

∠EAH=∠EFC

∠AHE=∠FCE

EH=EC,

∴△AEH≌△FEC,

∴AE=EF;

(2)猜想:(1)中的结论是没有发生变化.

证明:如图2,过点E作EH∥AB交AC于点H,则∠BAC+∠AHE=180°,∠BAC=∠CHE,

∵AB=BC,

∴∠BAC=∠ACB

∴∠CHE=∠ACB,

∴EH=EC

∵AD∥BC,

∴∠D+∠DCB=180°.

∵∠BAC=∠D,

∴∠AHE=∠DCB=∠ECF

∵∠AOE=∠COF,∠AEF=∠ACF,

∴∠EAC=∠EFC,

∴△AEH≌△FEC,

∴AE=EF;

(3)猜想:(1)中的结论发生变化.

证明:如图3,过点E作EH∥AB交AC于点H.

由(2)可得∠EAC=∠EFC,

∵AD∥BC,∠BAC=∠D,

∴∠AHE=∠DCB=∠ECF,

∴△AEH∽△FEC,

∴AE:EF=EH:EC,

∵EH∥AB,

∴△ABC∽△HEC,

∴EH:EC=AB:BC=k,

∴AE:EF=k,

∴AE=kEF.

点评:

本题考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.

考点点评: 主要考查了全等三角形的判定.本题三问由特殊到一般,注意比较它们之间的异同,关键抓住不变量,从而得出结论.本题难度很大.