如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，AB=6cm．点P在线段AC上以1cm/s的速度由点

如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，AB=6cm．点P在线段AC上以1cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点Q在线段AB上以2cm/s由点A向点B运动，设运动时间为t（s）．

（1）当t=1时，判断△APQ的形状（可直接写出结论）；

（2）是否存在时刻t，使△APQ与△CQP全等？若存在，请求出t的值，并加以证明；若不存在，请说明理由；

（3）若点P、Q以原来的运动速度分别从点C、A出发，都顺时针沿△ABC三边运动，则经过几秒后（结果可带根号），点P与点Q第一次在哪一边上相遇？并求出在这条边的什么位置．

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解题思路：（1）分别求出AP、AQ的长，根据等边三角形的判定推出即可；

（2）根据已知分别求出AP、CP、AQ、CQ的长，根据全等三角形的判定推出即可；

（3）根据勾股定理求出BC，根据已知得出方程2t-t=AB+BC，求出t的值即可．

（1）△APQ是等边三角形，

理由是：∵t=1，

∴AP=3-1×1=2，AQ=2×1=2，

∵∠A=60°，

∴△APQ是等边三角形；

（2）存在t=1.5，使△APQ≌△CPQ，

理由如下：

∵t=1.5s，

∴AP=CP=1.5cm，

∵AQ=3cm，

∴AQ=AC．

又∵∠A=60°，

∴△ACQ是等边三角形，

∴AQ=CQ，

在△APQ和△CPQ中

AQ＝CQ

AP＝CP

PQ＝PQ

∴△APQ≌△CPQ；

（3）在Rt△ABC中，BC＝

AB2−AC2＝

62−32＝

27，

由题意得：2t-t=AB+BC，

即t＝6+

27，

∴点P运动的路程是（6+

27）cm，

∵3+6＜6+

27＜3+6+

27，

∴第一次相遇在BC边上，

又（9+

27）-（6+

27）=3，

∴经过（6+

27）秒点P与点Q第一次在边BC上距C点3cm处相遇．

点评：

本题考点： 勾股定理；全等三角形的判定；等边三角形的判定．

考点点评： 本题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定的应用，题目是一道综合性比较强的题目，有一定的难度．

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